Triangle didactique

Une des particularités des enquêtes collaboratives concerne la réunion de personnes ayant des expertises variées afin de construire collectivement divers savoirs. Dans le cadre de cette enquête au préscolaire, nous nous sommes intéressées aux situations d'équivalence et d'égalité afin de construire un rapport adéquat au symbole d'égalité.  Dans le présent site, vous serez témoin des différents apprentissages qui ont été mis en exergue par les participants (chercheures, enseignantes, éducatrices et élèves).

Pour plus d'information sur les enquêtes collaborative menées par le MEO, consultez :

Le développement de la pensée algébrique fait appel à un certain nombre de concepts fondamentaux dont celui du concept d'égalité (Kieran, 2014; Knuth et al., 2006; OME, 2013).

Comme le souligne Theis ( 2005 ), un concept adéquat du signe «  = » en tant qu'indicateur d'une relation d'équivalence est crucial afin de comprendre ses propriétés dans les différents contextes de calculs arithmétiques de base.

Or, les élèves au cycle primaire ont souvent des conceptions erronées du sens du symbole de l'égalité qui persistent chez plusieurs élèves du cycle moyen et créent des obstacles à leur apprentissage.

Lien « Savoir-élèves » Répertoire des conceptions erronées - symbole d'égalité

Selon Van de Walle (2007, p. 260), le signe = est l'un des symboles les plus importants à maitriser, à l'élémentaire, dans l'étude de la numération, de l'algèbre et des mathématiques en général.

Or, les élèves au cycle primaire ont souvent des conceptions erronées du sens du symbole de l'égalité. Plusieurs considèrent le signe = comme l'incitation à effectuer une opération arithmétique plutôt que comme l'indicateur d'une relation d'égalité.

Cette conception étroite du symbole de l'égalité persiste chez plusieurs élèves du cycle moyen et crée un obstacle à leur apprentissage.

Conceptions erronées fréquentes Exemples et statistiques

Syntaxe

L'idée persistante que le signe d'égalité est un indicateur syntaxique, un symbole indiquant où la réponse devrait être écrite (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre)

Les élèves ayant cette conception diraient que l'expression mathématique 3+4=6+1 est fausse parce que 3 + 4 = 7 et non 6 (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre).

« La réponse vient après » (Osana et Adrien, 2012, p. 54 ; Warren et Cooper, 2005)

Élément déclencheur d'une opération

Le signe d'égalité est un stimulus engendrant une action, en l'occurrence, une opération arithmétique (Warren et Cooper, 2005, p. 59 traduction libre ; Warren, Mollison et Oestrich, 2009).

Le symbole d'égalité signifie qu'il faut effectuer un calcul avec les nombres qui le précèdent et que le nombre qui le suit est la réponse au calcul (Flakner, Levi et Carpenter, 1999, p. 233, traduction libre ; Warren et Cooper, 2005).

Les élèves ayant cette conception diraient que l'équation mathématique 3 + 4 = 6 +1 est fausse parce que 3 + 4 = 7 + 1 = 8 ou 3 + 4 = 7 + 6 = 13 + 1 = 14 (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre).

Dans le cadre d'un projet de recherche, des enseignants de 6e année ont demandé à leurs élèves de résoudre le problème 8 + 4 = ___ + 5. Les 145 élèves de 6e année pensaient que la réponse était soit 12 ou 17 (Falkner, Levi, Carpenter, 1999, p. 232, traduction libre).

Rigidité quant aux problèmes de forme non-conventionnelle

« […] perplexité face à un problème de forme non-conventionnelle » (Osana et Adrien, 2012, p. 55 ; Falkner, Levi et Carpenter, 1999, p. 234).

À la droite du symbole d'égalité, il y a toujours et seulement un nombre, la réponse (Warren, Mollison et Oestreich, 2009, p. 15, traduction libre).

« En voyant l'équation 8 + 4 = __ + 5, par exemple, plusieurs élèves dans les classes que nous avons observées ont fait la remarque que l'équation était « à l'envers » ou « mélangée » (Osana et Adrien, 2012, p. 55).

Est-ce que les écritures 2 + 3 = 3 + 2 et 2 – 3 = 3 – 2 sont toutes les deux vraies? Seulement 25% des 73 élèves de 3e année ont répondu que la première était adéquate et que la seconde était fausse. (Warren, 2001, dans Warren et Cooper, 2005, p.59 traduction libre).

Qu'en est-il de cette phrase mathématique 7 = 3 + 4. Est-ce vrai ou faux ? [beaucoup d'agitations, visages en détresse et murmures dans la classe]

Gretchen : oui, 3 + 4 égal 7
Ned : mais la phrase est fausse
Anna : elle est à l'envers
Falkner : Mais Adam nous a dit que le signe égal signifie que l'on a la même quantité de chaque côté. Est-ce que c'est vrai ici ?
Anna : oui, mais c'est dans la mauvais sens.

(Falkner, Levi et Carpenter, 1999, traduction libre, p. 234)

Suite successive de calculs

« Prolonge l'équation » (Osana et Adrien, 2012, p. 55)

« Représenter une suite successive de calculs » (MEO, 2008, p. 72)

Par exemple, pour calculer 8 x 3 + 6 - 3 écrire 8 x 3 = 24 + 6 = 30 - 3 = 27

« Il est tentant d'utiliser des signes = pour représenter une suite de calculs, mais cette écriture présente plusieurs égalités fausses […] » (MEO, 2008, p. 72)

Prise en compte d'aucune règle

« L'élève [utilise] tous les nombres dans un calcul en utilisant une ou plusieurs des opérations présentées dans l'équation » (Osana et Adrien, 2012, p. 55) Dans le cadre d'un projet de recherche, des enseignants de 6e année ont demandé à leurs élèves de résoudre le problème 8+4=___+5. Les 145 élèves de 6e année pensaient que la réponse était soit 12 ou 17 (Falkner, Levi, Carpenter, 1999, p. 232, traduction libre).

L'utilisation d'une calculatrice peut aussi renforcer l'idée que le signe « = » veut dire « trouve la réponse », car la calculatrice affiche un résultat quand on appuie sur la touche. Il est essentiel que les élèves donnent au signe « = » le sens d'une relation d'équivalence entre deux quantités. Il est donc important, dans l'enseignement, d'utiliser le signe « = » en misant sur des relations d'égalité et d'équivalence et non sur le calcul à effectuer.

Il faut également utiliser le signe correctement et éviter toutes représentations erronées :

  • Représenter une suite successive de calculs.
    Exemple : 
    Pour calculer 8 × 3 + 6 – 3, écrire 8 × 3 = 24 + 6 = 30 – 3 = 27
  • Utiliser le signe = dans une situation où un des membres de l'égalité ne représente pas une quantité.
    Exemple :
    Jean = 9
    Maude = 8
  • Représenter le nombre d'objets dans une collection en utilisant une représentation semi-concrète d'un côté du signe = et un nombre de l'autre côté.
    Exemple :
    Carré bleu largeCarré bleu largeCarré bleu large= 3
  • Utiliser le signe = ou un signe d'opération (p. ex., le signe +) entre des représentations semi-concrètes.
    Exemple :
    Carré bleu petitCarré large petit=Carré bleu largeCarré bleu large

Pour plus de détails, voir le tableau aux pages 72 et 73 du Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, Modélisation et algèbre, publié par le Ministère de l'Éducation de l'Ontario (2008).

Lien « Savoir-élèves » Niveau de compréhension

Vingt et un enfants de maternel (4 ans) et de jardin (5 ans) ont réalisé deux tâches exigeant qu'ils se prononcent sur l'équivalence de deux collections et qu'ils rétablissent l'égalité [voir la section enseignant-élèves pour une description plus détaillée]. L'une d'entre elle était contextualisé, à partir d'un livre de littérature jeunesse et s'effectuait en équipe, l'autre était décontextualisée et se déroulait individuellement. La quantité d'objets dans chacune des collections à comparer et leur proximité visait à rendre difficile ou inefficace la reconnaissance visuellement. Les contextes de comparaison réfèrent à une situation d'équivalence, car ce ne sont pas les mêmes objets de part et d'autres [voir la section Enseignant-Savoir/Vocabulaire : équivalence et égalité/Interprétations possibles du symbole « = »  selon le contexte]

Afin de caractériser les conduites des élèves, nous avons eu recours au modèle de comprehension de  Bergeron and Herscovics (1988). Ce modèle général de comprehension a été mis à profit dans plusieurs recherches. Dans le cadre de sa these, Laurent Theis l'a appliqué aux relations d'équivalence et d'égalité (Theis, 2005). Bien qu'en général, la plupart des élèves ont recours à divers niveaux de compréhension, nous avons ciblé certaines conduites plus typiques.

Le modèle conceptuel

Logico-physique intuitive

La vidéo réfère à l'explication de la compréhension intuitive, forme première et rudimentaire de la compréhension (Theis, 2003). Généralement associée aux perceptions visuelles et des estimations globales, ce niveau de compréhension n'implique pas encore l'utilisation de procédures mathématique. D'abord, l'enfant s'exprime sur la relation d'égalité à partir de perceptions visuelles sur des objets concrets, « il y en a plus là ». Ensuite, l'enfant recourt à l'ajout d'un certain nombre de cubes à l'ensemble ayant le moins d'objets. Cette stratégie de transformations spontanées, d'ajout en utilisant des cubes qui ne sont pas compris dans les deux collections, est différente de celle consistant à effectuer un échange précis de cubes entre les deux collections. Bien que l'élève effectue un dénombrement, processus que l'on associe au niveau logico-mathématique procédural, ce n'est qu'en réponse à l'insistance des l'intervenante d' « être certain de ce qu'il dit ».

Vidéo illustrant le niveau de compréhension logico-physique intuitive. Télécharger le verbatim de cette vidéo (PDF).


Logico-physique procédurale

Toujours dans le cadre de la comparaison de deux collections d'objets,les deux jeunes reconnaissent d'emblée qu'il y a moins d'œufs dans une collection et plus dans l'autre. Pour rétablir l'équivalence, le jeune fille propose d'abord de couper chacun des œufs et d'effectuer le partage, ce qui est impossible compte tenu du matériel utilisé. Elle propose ensuite de les rendre « un nombre égal » et pour ce faire le petit garçon propose de les dénombrer. Cependant la nouvelle stratégie de la jeune fille, de les « mettre deux avec deux », sera adoptée et permettra d'effectuer aisément la correspondance sans avoir à connaître le nombre d'œufs. Ce processus est associé à la compréhension logico-physique procédurale. Theis (2005) souligne qu'à ce niveau ce sont les procédures mathématiques telle la correspondance un à un, en l'occurrence la correspondance 2 à 2 qui permet de créer des groupements et de démontrer le développement précoce du raisonnement algébrique.   

Vidéo illustrant le niveau de compréhension logico-physique procédurale. Télécharger le verbatim de cette vidéo (PDF).


Logico-physique abstraite - N/A

Aucune vidéo n'est associée à ce niveau de compréhension.


Mixte logico-physique et logico-mathématique procédurale

La pensée de cet enfant semble à la fois emprunter le palier logico-physique et logico-mathématique. Elle s'appuie sur ses perceptions visuelle d'abord pour se positionner quant à la collection qui a le plus d'objets et ensuite, en recourant à un modèle de mesure (tour : empilement des cubes) pour vérifier s'il y a équivalence. Toutefois, elle utilise conjointement des procédures associées au palier logico-mathématique telles que le dénombrement. Cependant, il semble qu'il y aurait une prédominance de pensée au palier logico-physique puisque l'enfant ne ressent pas le besoin, au dernier recours, de déterminer le nombre de cubes dans chacune des deux tours, ce qui est tout à fait adéquat.

Vidéo illustrant le niveau de compréhension mixte logico-physique et logico-mathématique procédurale. Télécharger le verbatim de cette vidéo (PDF).


Mixte logico-mathématique et logico-physique procédurale

Cette vidéo, également mixte, illustre la pensée logico-mathématique en relation avec le dénombrement suivi de la pensée logico-physique dans le cadre d'une correspondance 1 à 1 pour vérifier l'équivalence. Le fait que l'enfant ait commis à plusieurs reprises des erreurs de dénombrement pour confirmer une situation d'équivalence peut l'avoir incité à utiliser une procédure et à se référer à des éléments plus concrets comme la perception visuelle et la correspondance 1 à 1. Enfin, elle échange un cube de la grande collection à la petite pour qu'il y en ait autant dans chacune des collections.

Vidéo illustrant le niveau de compréhension mixte logico-mathématique et logico-physique procédurale. Télécharger le verbatim de la vidéo (PDF)


Logico-mathématique procédurale

Dans cette situation, la petite fille jouant le rôle de Fafounet, reconnaît d'emblée (perception visuelle) qu'elle en a plusieurs dans sa collection. Par la suite, chacune procède au dénombrement de leur collection. Pour rétablir l'égalité, l'une d'entre elle réunit les deux collections pour en former une seule et partage les cubes un à un entre son amie et elle-même. Cette distribution simultanée d'un cube à chacun semble relever d'un rapport à l'égalité en terme d'équivalence, rapport nécessaire pour l'apprentissage de l'algèbre. En effet, la transformation simultanée, de part et d'autres, permet de se positionner rapidement sans avoir à en connaître la quantité. Il semble également que la relation de symétrie (ex. 3 = 2 + 1) s'apparente davantage au processus algébrique qu'une relation unidiretionnelle (1 + 2 = 3) souvent connotée à l'arithmétique par les élèves (Matz, 1982). Ce procédé permet également de travailler à partir d'une valeur indéterminée et bien au delà du domaine numérique des élèves. En ce sens, il s'agit d'un procédé plus généralisable que ceux précédemment relevés. Enfin, elle procède au dénombrement de chacune des collections pour vérifier qu'il y en a la même quantité. Selon Theis (2005), lorsque l'enfant raisonne en termes de nombres par exemple, lorsqu'on lui demande de vérifier l'efficacité de l'opération elle effectue une procédure associée au niveau logico-mathématique.

Vidéo illustrant le niveau de compréhension logico-mathématique procédurale. Télécharger le verbatim de cette vidéo (PDF).


Logico-mathématique abstraite

Dans cette vidéo, l'enfant a déjà accès à une pensée abstraite liée à une compréhension de la conservation de l'équivalence. D'abord, l'élève propose, sur une base perceptuelle, de tout simplement enlever une plus grande quantité d'objets à la plus grande collection et de mettre les cubes restant de côté. Elle estime qu'elle doit retirer 4 cubes de la grande collection et « peut-être » 2 de la petite collection pour que ce soit égal de chaque côté. Elle dénombre à 6 le nombre de cubes pour le deux collections. Lorsqu'on lui demande ce qu'elle pourrait faire avec les cubes restant (6), elle les partage 1 à 1 dans chacun des ensembles. À la demande de la chercheuse quant à l'équivalence des collections, elle affirme qu'elles sont égales, et ce sans connaître la quantité totale d'objets dans chacune des collections et sans ressentir le besoin de les compter. En fait, malgré les ajouts dans chaque ensemble, elle sait que l'égalité est conservée parce qu'elle a appliqué les mêmes transformations aux deux collections, « de chaque côté ». Pour nous le prouver, elle dénombre la première collection à 9 cubes et sait déjà qu'il y aura 9 cubes dans l'autre collection avant même de procéder au dénombrement.

À la différence de l'élève qui procède seulement à une distribution, celle-ci opère sur l'égalité. En effet, partant de l'égalité de base qu'elle a établie (six sur le carton de droite et six sur le carton de gauche), elle utilise un processus de distribution égale (1 à 1) et finalement elle assume que le résultat est toujours égal se basant sur ces deux éléments de raisonnements. Ce raisonnement composé diffère de celui qui se résume à la distribution. 

Il nous semble donc que cette conduite évoque un raisonnement algébrique car il répond aux critères de travail avec des valeurs indéterminées, à une mise en oeuvre d'un raisonnement analytique et fait intervenir le processus de généralisation. D'ailleurs, nous pourrions l'associer à la transformation d'al-jabr dans sa version contextuelle à laquelle faisait référence Squalli (2007). En effet, le fait d'effectuer la même opération de part et d'autres permet de conserver l'équivalence,  peu importe la quantité. D'ailleurs beaucoup d'élèves ayant opéré de cette façon expriment qu'ils ne connaissaient pas la cardinalité des ensembles et émettent l'idée que cela n'était pas nécessaire pour statuer sur l'équivalence des deux ensembles.

Vidéo illustrant le niveau de compréhension logico-mathématique abstraite. Télécharger le verbatim de cette vidéo (PDF).

Lien « Savoir-élèves » Stratégies

Stratégies permettant de reconnaitre, expliquer, créer, rétablir et maintenir l'égalité

Les vidéos de divers enfants ont été examinées au regard des différentes stratégies déployées. Ce travail nous a permis d'inventorier les stratégies ci-dessous, que nous illustrerons par l'entremise de quelques vidéos.

  • Stratégies inventoriées

  • Ajout
  • Retrait
  • Distribution (1 à 1)
  • Partage
  • Groupement (pour une collection de 4 : 2 là et 2 là)
  • Échange
  • Perception visuelle
  • Reconnaissance immédiate
  • Réunion
  • Estimation
  • Mesure
  • Correspondance 1 à 1

Dénombrement, ajout, distribution 1 à 1

La jeune fille dénombre une première collection de 8 cubes et une autre de 10 cubes. Elle reconnait que ce n'est pas égal, qu'il y en n'a pas la même quantité.  lle sait que celle de 10 en a plus. Pour rétablir l'égalité, l'enfant tente d'abord d'inverser les deux collections de place, comme si l'accumulation des deux évènements rendait les collections équivalentes (D'un côté, il y en a eu 8, maintenant il y en a 10. De l'autre, il y en avait 10, maintenant il y en a 8).

L'intervenante remet l'élève en question et finalement l'enfant établit que c'est « presque » égal. Elle décide donc d'ajouter 2 cubes à la petite collection à partir d'un ensemble extérieur à la tâche. Elle dénombre à nouveau les deux collections pour confirmer l'égalité. L'intervenante donne 4 blocs à l'élève et celle-ci a pour tâche de maintenir l'égalité. Elle distribue les cubes un à un entre les collections tout en sachant que l'égalité est maintenue et qu'elle le serait même si on ajoutait des cubes à l'infini. Il s'agit d'un raisonnement algébrique comme celui présenté dans l'illustration de la compréhension logico-mathématique abstraite.

Vidéo illustrant : le dénombrement, l'ajout et le partage (tâche décontextualisée).


Perception visuelle, échange, reconnaissance immédiate (Tâche contextualisée)

Les élèves reconnaissent l'inégalité en comparant visuellement les ensembles. Le petit garçon, qui a 8 cubes, effectue un échange entre les deux collections. Il donne 2 cubes à la petite fille et les deux enfants sont satisfaits de constater que chacun possède maintenant 6 blocs. Leur raisonnement semble s'appuyer sur la reconnaissance physique et immédiate d'une configuration qui correspond au nombre de 6 (2 rangées par 3 colonnes).

Vidéo illustrant : la perception visuelle, l'échange et la reconnaissance immédiate (Tâche contextualisée).


Perception visuelle, réunion, distribution 1 à 1, dénombrement

Les filles reconnaissent visuellement l'inégalité entre le deux collections. Elles réunissent les deux ensembles en une seule collection, puis partagent les cubes un à un entre elles. Elles ne peuvent confirmer l'égalité que par le dénombrement de leur collection respective. C'est une stratégie qui pourrait être généralisée à plusieurs autres situations.

Vidéo illustrant : la perception visuelle, la réunion, le partage et le dénombrement (Tâche contextualisée).


Dénombrement, retrait, groupement

Un des garçons dénombre sa collection et obtient 4 cubes alors que l'autre garçon en dénombre 8. Pour rétablir l'égalité, ce dernier propose d'en conserver 4 et de retirer les cubes supplémentaires (4). L'intervenant reconnaît qu'il y en a maintenant la même quantité et que la règle d'or est respectée, mais leur demande d'utiliser tous les cubes. Un garçon voit tout de suite que chacun doit en recevoir 2 pour que ce soit égal et qu'à ce moment ils en auront chacun 6. Il a cependant été impossible de savoir comment l'enfant a procédé « dans sa tête » comme il l'affirme. En fait, il peut connaître le fait numérique (2+4 = 6), faire un rappel de la suite numérique (4, 5[1], 6[2]) ou le reconnaître d'emblée (perception visuelle).

Vidéo illustrant : le dénombrement, le retrait et le groupement (Tâche contextualisée).


Partage, dénombrement

Les deux jeunes filles savent d'emblée que Fafounet en a plus. Pour rétablir l'égalité, elles partagent chacune leur collection en deux parties égales avant d'en remettre une partie à l'autre. Ensuite, elles dénombrent les collections qu'elles ont et confirment l'égalité.

Vidéo illustrant : le dénombrement, la réunion et l'estimation (Tâche contextualisée).


Dénombrement, mesure, retrait, réunion, correspondance 1 à 1

L'enfant commence d'abord par dénombrer et indique qu'il n'y en a pas autant dans chacune des collections. Il semble toutefois que ces faits numériques ne sont pas suffisants. Ils comparent physiquement les « lignes » pour voir si elles se ressemblent « comme ça on va voir si c'est la plus courte ou la plus longue ». Il décide d'en « enlever 1 » parce que ce n'est pas égal, une est plus longue que l'autre. Il a toutefois mal effectué la correspondance. L'intervenante lui demande s'il peut s'assurer que c'est égal. Pour vérifier, le garçon dénombre chacune des collections et arrive à 9 pour chacune d'entre elles. Lorsque l'intervenant lui demande combien il y en a dans la première ligne, il recompte et obtient 8 et à 9. Il hésite en disant d'abord que c'est égal, puis que ce n'est pas égal.

Plusieurs stratégies émergent, mais sont confuses. Réalisant cela, l'enfant remet aléatoirement les cubes où ils étaient au départ. Il poursuit en construisant une seule grande ligne réunissant tous les cubes. Il la divise en deux lignes qu'il place côté à côte (correspondance terme à terme) et dénombre pour confirmer l'égalité.

Vidéo illustrant : le énombrement, la mesure, le retrait, la réunion et la correspondance 1 à 1 (Tâche décontextualisée).

L'analyse des billets de sortie et de l'entrevue finale de l'enquête collaborative en ce qui concerne les préoccupations des enseignantes corrobore l'état de la recherche en ce sens que bien guider la compréhension des élèves suppose le recours à :

Enfin, une ouverture supplémentaire est celle d'enrichir la compréhension des élèves en sollicitant la pensée algébrique.

Lien « Enseignant-savoir » Vocabulaire : équivalence et égalité

Définitions générales

« […] symbole décrivant une relation plutôt qu'un stimulus d'action » (Falkner, Levi et Carpenter, 1999, p. 236, traduction libre)
«  exprime l'idée que deux expressions mathématiques sont équivalentes (Squalli, 2002, p.5)
« le signe « = » représente une relation entre les expressions numériques de chaque côté du signe et n'est pas précurseur de la réponse » (MEO, 2008, p.42)
« […] « = » signifie que les expressions de chaque côté du symbole représentent la même quantité et que l'information peut être lue dans une direction ou dans l'autre » (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre)
« On peut réécrire l'expression à gauche du signe d'égalité sous la forme à sa droite. Le signe d'égalité montre que les deux expressions qu'il relie ont la même signification, en ce sens qu'on peut voir que l'une se laisse réécrire en l'autre » (Marion, 2011, p,145)
« L'égalité est réflexive, symétrique et transitive; c'est donc une  équivalence. (Bouvier et al., 1992, p. 285).

« Une égalité est une relation entre deux quantités de même valeur ou entre deux représentations d'un même objet mathématique. » (Champlain et al., 1996, R26).


Interprétations possibles du symbole « = »  selon le contexte

Équivalence: relation qui vérifie les propriétés de symétrie, de réflexivité et de transitivité.
Équivalence sur le plan quantitatif (équipotence) : dans cette relation, c'est le nombre d'éléments des ensembles qui est déterminant : « Un nombre n est la propriété commune à tous les ensembles équipotents comprenant chacun n élément» (Theis, 2005, p.6).
Équivalence versus Égalité

Une égalité, au plan formel, peut représenter au plan concret soit une équivalence, soit une égalité. (Theis, 2005, p. 7). Si l'on s'inspire par exemple de la catégorisation des problèmes additifs de Vergnaud (1981) au regard de ce qui est abordé au primaire, nous pouvons distinguer.

Catégorie Schéma Exemple Équivalence Égalité
Comparaison Schéma illustrant la comparaison

« X a 6 billes. Y a 9 billes. Combien Y a-t-il de billes de plus ? »

(Theis, 2003, p.42)

 
Composition (relation partie, partie, tout) Schéma illustrant la composition

« Trois garçons et quatre filles sont réunis pour l'anniversaire de Marie; combien cela fait-il d'enfants en tout ? »

(Theis, 2003, p.41)

 
Transformation Schéma illustrant la transformation

« un enfant a cinq billes, en jouant il en gagne trois, combien en a-t-il maintenant ? »

(Theis, 2003, p.42)

 
Composition de transformation Schéma illustrant la composition de transformation Pierre a joué deux partie de billes cet après-mid. À la première, il en a gagné 14 et à la deuxième partie, il a gagné 6 billes. Combien de billes a t-il gagnés cet après-midi?  

Ainsi, lorsqu'il est question d'égalité, cas particulier de l'équipotence, ce sont les mêmes objets qui sont impliqués de part et d'autre du symbole dans la représentation formelle. Le contexte est donc nécessaire pour savoir que dans « 3 + 5 = 8 », les 8 objets correspondent à la réunion des 5 objets et des 3 objets et par conséquent, il s'agit des mêmes objets.

Il importe d'utiliser les symboles avec des représentations symboliques (données numériques) et non des représentations concrètes ou semi-concrètes.

Il est également possible de vous référer au GEEM de la maternelle à la 3e année, modélisation et lagèbre, fascicule 2, situations d'égalité, p.33

Lien « Enseignant-savoir » Représentations erronées

Représenter une suite successive de calculs.

Exemple :

  • Pour calculer 8 × 3 + 6 – 3, écrire 8 × 3 = 24 + 6 = 30 – 3 = 27

Utiliser le signe « = » dans une situation où un des membres de l'égalité ne représente pas une quantité.

Exemple :

  • Jean = 9
  • Maude = 8

Représenter le nombre d'objets dans une collection en utilisant une représentation semi-concrète d'un côté du signe = et un nombre de l'autre côté.

Exemple :

Carré bleu largeCarré bleu largeCarré bleu large= 3

Utiliser le signe = ou un signe d'opération (p. ex., le signe +) entre des représentations semi-concrètes.

Exemple :

Carré bleu petitCarré large petit=Carré bleu largeCarré bleu large

Il importe d'utiliser les symboles avec des données numériques et non des dessins. Ainsi selon leur contenu, ces représentations peuvent ou non être erronées.

Schéma d'une représentation erronée

Comme il était prévu de faire des représentations imagées dans la partie du haut et d'inscrire des nombres seulement dans les cases du bas, cette représentation est inadéquate.

Schéma d'une représentation inadéquate

Nous pouvons toutefois effectuer certaines modifications pour la rendre juste.

Schéma d'une représentation juste

D'ailleurs, une représentation hybride, extraite du jeu Simple Addition Instant Learning Center (Carson, Calif. : Lakeshore c2008) a été exploitée par les enseignantes. Dans cette représentation, sur les feuilles vertes, les élèves placent des petit cubes et dans l'encadré le nombre résultant de la réunion des objets.

Représentation hybride

Il manquait donc uniquement à intégrer le symbole d'addition (+) plutôt entre les roulettes et celui d'égalité ( = ), à la suite des roulettes avec le carré.

Il est également possible de vous référer au tableau des pages 38 et 39 du Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, modélisation et algèbre, fascicule 2, situations d'égalité et aux pages 72 et 73 du Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année 2 Modélisation et algèbre.

Lien « Enseignant-savoir » Questionnements

Cette prise de conscience des enseignantes relève de la difficulté à ne pas introduire le vocabulaire dans la question pour être à l'affut de ce que l'élève peut produire. Ainsi, il apparaissait inapproprié de demander aux élèves, « lequel est le plus grand » si l'intention est de savoir si l'élève peut exploiter ce vocabulaire.

Difficultés/pistes de solution

Tel que mentionné par un des participants :

Il ne faut pas mettre les mots dans la bouche des enfants

Dès lors deux orientations ont été mises en exergue par les participants 

  1. recourir à un contexte évocateur
    • Partage
    • Comparaison de collections
  2. utiliser un vocabulaire plus général
    • Est-ce que c'est juste ?
    • Qu'est-ce que tu remarques ?

La consultation de la partie de « Enseignant-élève expose », entre autres, l'exploitation d'une activité à partir d'un livre de littérature jeunesse.

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Il faut poser des questions ouvertes, générales pour susciter la réflexion, l'explicitation de leur processus, etc.

Quelques caractéristiques d'une « bonne question »

  • « Elle exige plus qu'un rappel de faits ou que la répétition d'une procédure
  • Les élèves peuvent apprendre  quelque chose en y répondant, et l'enseignant apprend des choses sur ses élèves grâce à leurs réponses. (Sullivan et Lilburn, 2010, p.5)»

« Méthodes pour créer de « bonnes » questions

 Méthode 1. Commencer pas

  • Définir le sujet (ex. Aire)
  • Réfléchir à une question fermée et en écrire la réponse (ex. 6m2)
  • Formuler un question qui comprend (ou porte sur) la réponse trouvée à l'étape 2  (ex. Combien de triangles d'une aire de 6 cm2 pouvez-vous dessiner? »

[…]
Méthode 2

  • Définir le sujet (ex. Géométrie)
  • Réfléchir à une question conventionnelle (ex. Qu'est-ce qu'un carré)
  • L'adapter pour en faire une bonne question » (ex. Que pouvez-vous écrire à propos des carrés?)

(Sullivan et Lilburn, 2010, p.9-10) »

Questionnement

Il faut laisse le temps aux élèves pour chercher la ou les réponses etc.


Objectifs du questionnement chez l'enseignant

« Le questionnement permet aux enseignantes et aux enseignants :

  • d'obtenir des renseignements sur ce que les élèves connaissent et comprennent
  • de connaître les conceptions erronées ou les lacunes des élèves
  • d'utiliser cette information pour planifier les prochaines interventions d'enseignement et d'apprentissage. » (AFEMO, 2014)

Exemples de questionnement (Services pédagogiques M-6, janvier 2013)

  • Comment sais-tu que c'est la même quantité?
  • Montre-moi ce que tu as fait.
  • Est-ce que cela fonctionne à chaque fois?
  • Comment le sais-tu?

Ressources

  • Programme d'apprentissage à temps plein de la maternelle et du jardin d'enfant, version provisoire, 2010-2011 voir p.86-87  et dans les colonnes intitulées Interactions pour d'autres exemples de questions. Site Web.
  • Monographie. Secrétariat de la littératie et de la numératie (novembre 2011).  Accroître la capacité, Série d'apprentissage professionnel, L'art de questionner de façon efficace.
  • Guide d'enseignement efficace de l'enseignement des mathématiques de la maternelle à la 6e année, Fascicule 2 (2006)
  • Webémission : Faire croître le succès (cforp.on.ca) Voir rubriques : Services, Production multimédia, Formation en ligne, Webémissions, Évaluation et communication du rendement 
    (FCLS), Questionner pour améliorer l'apprentissage de l'élève. Site Web.
  • Évaluer, différencier… réussir, Centre franco-ontarien des ressources pédagogiques, Sullivan, P et Lilburn P. (2010) Activités ouvertes en mathématiques : 600 bonnes questions pour développer la compréhension en mathématiques. René Hurtubise Montréal : Chenelière Éducation
  • Activités ouvertes en mathématiques : 600 bonnes questions pour développer la compréhension en mathématiques. Peter Sullivan Pat Lilburn; René Hurtubise Montréal : Chenelière Éducation c2010.
  • MEO - Mettre l'accent sur le raisonnement algébrique (PDF)

Lien « Enseignant-savoir » Pensée algébrique

Fonction et définition

Différentes opérations peuvent être associées à un raisonnement algébrique, telles qu'opérer sur l'inconnue. « Opérer sur l'inconnu, c'est raisonner de manière analytique, c'est réfléchir sur les opérations, les généralisations et non sur les objets (Squalli et Theis, 2005, adaptation). Selon plusieurs chercheurs, c'est ce qui distingue l'arithmétique de l'algèbre (Driscoll, 1999; Squalli, 2002). » (MEO, 2008 p.11)

Kieran (2004) regroupe sous l'appellation de « global, meta-level, mathematical activities », différentes opérations, modes de pensée qui ne sont pas exclusifs à l'algèbre, mais qu'il serait  difficile d'envisager un travail algébrique sans y faire appel. Le recours à cette catégorisation dans sa définition de l'algèbre permet par ailleurs d'envisager l'algèbre au-delà d'un ensemble de connaissance et de technique pour y inclure ce qui a trait à la « façon de penser » et d'avoir une définition commune pour les divers niveaux scolaires.
Et cette façon de penser peut être sollicitée dans différents types de tâches, dont trois sont particulièrement récurrentes dans les recherches sur la pensée algébrique au primaire :

  1. l'étude de régularités géométriques et numériques (Radford, 2012 ; Beatty et Bruce, 2012 ; Moss et McNab, 2011)
  2. l'étude de la relation d'égalité (Theis et Squalli, 2007, Carpenter, Franke, and Levi, 2000)
  3. l'étude de la représentation des relations dans le cadre d'activité de résolution de problèmes (Kieran, 2014 ; Polotskaia, Freiman et Savard, 2012). Dans le présent document web, nous nous intéresserons au premier type.

Dans le cadre de cette enquête collaborative, il a été question de solliciter la pensée algébrique afin d'enrichir le rapport des élèves à la notion d'égalité et d'équivalence.


Guide/pistes pour l'enseignement

Squalli (2007) souligne qu' « il faut amener les élèves, sans calculer, à :

  1. reconnaître que deux quantités sont équivalentes ;
  2. reconnaître que l'équivalence de deux quantités est conservée par certaines transformations ;
  3. trouver la transformation pour rendre une quantité équivalente à une quantité donnée ».

Varier les écritures – comparaison plutôt que dénombrement

(Carpenter, Franke, and Levi, 2003 , dans Kieran 2014)

Si l'on s'intéresse au sens du symbole d'égalité, il semble qu'il faille varier le type de représentations (Carpenter, Franke, and Levi, 2003) et optimiser les situations d'équivalence et d'égalité qui requiert plutôt une comparaison qu'un dénombrement.

  • Situations d'équivalence et d'égalité
    (Carpenter, Franke, and Levi, 2003, dans Kieran 2014, p.2)

  • 2 + 6 = 8
  • 8 = 2 + 6
  • 2 + 6 = 8 + 0
  • 2 + 6 = 0 + 8
  • 2 + 6 = 2 + 6
  • 2 + 6 = 6 + 2
  • 2 + 6 = 8 + 1

Dans le cadre de l'enquête collaborative, nous avons développé diverses activités, ces activité s'appuyant sur les habiletés reconnues par le MEO (2008), soit :

  1. reconnaître une situation d'égalité ;
  2. expliquer une situation d'égalité ;
  3. créer une situation d'égalité ;
  4. rétablir une situation d'égalité :
  5. maintenir une situation d'égalité.

Ici, nous avons intégré diverses propositions provenant des enseignants, des accompagnatrices, des Superviseures des programmes de la petite enfance CSDCEO, des formatrices ou des chercheurs.

Nous avons repris celles qui ont déclenché un intérêt particulier. Nous exposons aussi diverses ressources proposées par la communauté de l'enquête collaborative.

Lien « Enseignant-élève » Activités contextualisées

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

D'Aoust, L. (2011). Fafounet et la chasse aux cocos de Pâques. Montréal : Les Malins.

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Figure 1 : D'Aoust, L. (2011). Fafounet et la chasse aux cocos de Pâques. Montréal : Les Malins.

Description de l'activité 1

Il s'agit de lire l'histoire avec les élèves et de s'arrêter

  1. à la page où la maman réfère à la règle d'or et demander aux élèves : «  Est-ce que tu es capable de m'expliquer c'est quoi la règle d'or ? Est-ce qu'un ami a une autre façon de l'expliquer ?
  2. à la page illustrée par la Figure 1 et cacher la question qui accompagne cette image, autrement, elle oriente l'élève vers le dénombrement. À la suite de la lecture de l'histoire, on leur dit que maintenant ce seront eux Fafounet et Fafoundé et qu'ils devront s'assurer de respecter la règle d'or.

La tâche se réalise donc en dyade.

  • Quel personnage veux-tu être, Faounet ou Fafoundé ? Pour quelle raison ? [noter le vocabulaire exprimé par l'élève : plus, moins, ..]
  • Ok alors voilà ce que Fafounet à trouvé (remise de 8 cocos [blocs] à Fafounet) et voilà ce que Fafoundé a trouvé (remise de 5 cocos [blocs] à Fafounet).
  • Est-ce que tu te souviens de la règle d'or ? Qu'est-ce que c'était ? Est-ce que la règle d'or est respectée/ Est-ce que c'est juste ? [reconnaître l'inégalité] ?
  • Qu'est-ce que tu pourrais faire pour la respecter/ pour que ce soit juste ? [rétablir l'égalité]

Poursuite de la lecture du livre avec les élèves


Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

RP de maternelle-jardin, du GEEM  MA, fasc. 2, p. 113

Description de l'activité 2

  1. Montrer les différents habitats et animer une discussion pour les décrire. Identifier quelles sortes d'animaux peuvent y vivre?
  2. Présenter le problème et le matériel mis à leur disposition.
  3. Exploration
  4. Échange mathématique : Regrouper les animaux sur 3 grands cartons.
    Question : Que pouvons-nous faire savoir rapidement dans quel habitat, il y a le plus d'animaux? Que pouvons-nous faire pour comparer la quantité d'animaux dans chaque habitat? [exploiter différentes représentations : comparer à l'aide des cadres à dix cases (GEEM  MA, fasc. 2, p. 119)

Expliquer que le questionnement qui suit travaille le concept d'égalité.

Rétablir l'égalité  avec les cadres à dix cases:

« Si je voulais que tous les habitats aient  autant (une quantité égale) d'animaux, peux-tu m'expliquer et me démontrer ce que je pourrais faire? »

  • « Est-ce que quelqu'un aurait une autre façon de procéder?
  • Peux-tu l'expliquer et le démontrer? »
  • Poursuivre avec des tours de cubes, (GEEM – MA, fasc. 2 : p. 39-48)  Rétablir l'égalité en faisant le transfert avec des tours de cubes
  • Expliquer que certaines habiletés aident à  travailler le concept d'égalité, ce  sont : reconnaitre, expliquer, crée et  rétablir l'égalité.
  • Ces habiletés se vivent avec des tours de cubes.  Pour rétablir l'égalité : j'enlève, j'ajoute ou je partage

Importance du questionnement et de la quantité (fasc. 2,  p. 88)

Faire ressortir l'importance des bonnes questions.


Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Description de l'activité 3

Au départ, l'enseignante joue avec différents élèves. Ensuite, elle le place dans un centre où ils jouent à ce jeu en dyade.  Les joueurs disposent d'une carte représentant l'autobus (cadre à 10 cases). À tour de rôle, un enfant lance le dé et tous les élèves doivent ajouter ou enlever le nombre de passagers obtenus.

  • Flèche qui entre dans l'autobus : ajoute
  • Flèche qui sort de l'autobus : enlève
  • Autobus seule : rien ne change
Différentes questions peuvent être demandées au élèves :  Ma belle x , as-tu autant de passagers que y ? Comme la disposition de leurs passagers peut différer, il est intéressant de prendre connaissances des stratégies auxquelles elles vont recourir (dénombrement, correspondance, perception visuelle, etc.)

Description de l'activité 4

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

RP de maternelle-jardin, du GEEM  MA, fasc. 2, p. 77

Lien « Enseignant-élève » Activités décontextualisées

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Description de l'activité 5

Tache décontextualisée

Sur le napperon de droite mettre 8 cubes et 10 sur le napperon de gauche. Les disposer de la même façon (espacement + en cercle+ pas empilés)

Une boîte de cubes est à côté si jamais l'enfant veut en prendre ou en remettre.

Question à poser :

[en pointant chaque fois  l'élève]? A-t-on autant* de petits cubes à gauche sur ce napperon qu'à droite sur ce napperon ? Comment le sais-tu ?

Qu'est-ce qu'on pourrait faire pour qu'il y en ait autant ici [à droite] qu'ici [à gauche], autant de chaque côté? Est-ce que tu peux le faire ?

* (si nécessaire, par contre cela entraine le risque d'orienter vers le dénombrement, ce que l'on ne souhaite pas afin de solliciter la pensée algébrique)  Qu'est-ce que ça veut dire pour toi autant ? Est-ce que tu le sais ? Qu'est-ce qu'on pourrait faire pour avoir la même quantité de cubes des deux côtés ?
Est-ce qu'il y en a la même quantité maintenant ? Comment le sais-tu?
Maintenant que tu as la même quantité de chaque côté.

Si je te donne  ces cubes (donner 4 cubes)  qu'est-ce que tu peux faire pour avoir la même quantité de cubes des deux côtés ? [possibilité de recourir à un raisonnement algébrique. À cette étape, il importe de noter si l'enfant peut confirmer l'équivalence des collections sans en connaître la quantité précise.


Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Numération et sens du nombre (M-3)
Activité du centre de mathématiques afin d'initier les élèves au concept de relations, Plus que, moins que ».
Présentation >Relations>Plus que, moins que.

Description de l'activité 6

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Source (PDF)


Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Assiettes à pois

Description de l'activité 7

Je décris et je compare ce que je vois en utilisant les bons mots de vocabulaire

Question de l'enseignante : Que vois-tu? Que remarques-tu?

L'enfant décrit une situation où il y a autant d'objets dans un ensemble que dans l'autre
L'enfant décrit une situation où il y a plus d'objets dans un ensemble que dans l'autre
L'enfant décrit une situation où il y a moins d'objets dans un ensemble que dans l'autre
L'enfant décrit une situation d'ajout ou de réunion

Question de l'enseignante : Comment le sais-tu?

L'enfant compare les quantités par la perception visuelle
L'enfant compare les quantités en faisant de la correspondance un à un
L'enfant compare les quantités en faisant du dénombrement
L'enfant utilise une phrase mathématique pour expliquer une situation d'ajout ou de réunion ou de comparaison

Combien y a-t-il de points dans mon assiette? dans ces 2 assiettes?
Est-ce qu'il y en a plus dans celle-ci ou dans l'autre?
Combien de plus que 5? Combien de moins que 10?
Comment le savais-tu si rapidement ?
Est-ce que quelqu'un l'a vu autrement?
Pourquoi est-ce que tu n'as pas compté par un?
As-tu vu 1 groupe de points ou 2 groupes de points?
Quand est-ce que cette stratégie est utile ?
Quelles autres combinaisons font 10 ?
Comment le sais-tu ?

Il est aussi très intéressant d'aller au-delà du répertoire numérique de l'élève pour voir la stratégie qu'il mobilisera. Autrement, le dénombrement est toujours valorisé.

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Source : Pinterest

Fafounet et la chasse aux cococ de Pâques

Source : Pinterest

Description de l'activité 8

Ce matériel permet aux élèves de passer d'un registre à l'autre, du concret au symbolique.

Aussi, il est possible de proposer différents contextes pour accompagner ce matériel. Cela permet notamment de recourir aux sens de la réunion, de la transformation et de la comparaison de l'addition [consulter la partie Enseignant-Savoir/ vocabulaire].

Il faut toujours garder en tête l'importance des représentations que l'on utilise [consulter Enseignant-Savoir/ représentations erronées]. Ainsi, la deuxième photo s'avère plus juste.


Divers outils didactiques ont aussi été proposés, que ce soit à partir de crêtes d'œufs, d'avoir une grille numérique dont certains nombres sont cachés, jeux de cerceaux, de balances, ailes d'un papillon, etc.

Lien « Enseignant-élève » Ressources

Plusieurs ressources ont été échangées entre les participants. Nous en présentons ci-dessous.

Livres littérature jeunesse

  • Wood, A. (2005) Dix petits poissons! Markham : Scholastic c2005
  • D'Aoust, L. (2011). Fafounet et la chasse aux cocos de Pâques. Montréal : Les Malins.
  • Collection Maths et Mots
    Math et mots est une collection de livrets conçus pour le développement des compétences en mathématique et en lecture. Elle permet de différencier l'enseignement de la mathématique en proposant aux élèves des textes appropriés à leurs compétences en lecture. Pour chaque concept abordé, Math et mots présente des livrets de niveaux de lecture différents.

Sites Web

Ressources du Ministère de l'éducation de l'Ontario