Une des particularités des enquêtes collaboratives concerne la réunion de personnes ayant des expertises variées afin de construire collectivement divers savoirs. Dans le cadre de cette enquête au préscolaire, nous nous sommes intéressées aux situations d'équivalence et d'égalité afin de construire un rapport adéquat au symbole d'égalité. Dans le présent site, vous serez témoin des différents apprentissages qui ont été mis en exergue par les participants (chercheures, enseignantes, éducatrices et élèves).
Pour plus d'information sur les enquêtes collaborative menées par le MEO, consultez :
Le développement de la pensée algébrique fait appel à un certain nombre de concepts fondamentaux dont celui du concept d'égalité (Kieran, 2014; Knuth et al., 2006; OME, 2013).
Comme le souligne Theis ( 2005 ), un concept adéquat du signe « = » en tant qu'indicateur d'une relation d'équivalence est crucial afin de comprendre ses propriétés dans les différents contextes de calculs arithmétiques de base.
Or, les élèves au cycle primaire ont souvent des conceptions erronées du sens du symbole de l'égalité qui persistent chez plusieurs élèves du cycle moyen et créent des obstacles à leur apprentissage.
Selon Van de Walle (2007, p. 260), le signe = est l'un des symboles les plus importants à maitriser, à l'élémentaire, dans l'étude de la numération, de l'algèbre et des mathématiques en général.
Or, les élèves au cycle primaire ont souvent des conceptions erronées du sens du symbole de l'égalité. Plusieurs considèrent le signe = comme l'incitation à effectuer une opération arithmétique plutôt que comme l'indicateur d'une relation d'égalité.
Cette conception étroite du symbole de l'égalité persiste chez plusieurs élèves du cycle moyen et crée un obstacle à leur apprentissage.
Conceptions erronées fréquentes | Exemples et statistiques |
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Syntaxe |
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L'idée persistante que le signe d'égalité est un indicateur syntaxique, un symbole indiquant où la réponse devrait être écrite (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre) |
Les élèves ayant cette conception diraient que l'expression mathématique 3+4=6+1 est fausse parce que 3 + 4 = 7 et non 6 (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre). « La réponse vient après » (Osana et Adrien, 2012, p. 54 ; Warren et Cooper, 2005) |
Élément déclencheur d'une opération |
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Le signe d'égalité est un stimulus engendrant une action, en l'occurrence, une opération arithmétique (Warren et Cooper, 2005, p. 59 traduction libre ; Warren, Mollison et Oestrich, 2009). Le symbole d'égalité signifie qu'il faut effectuer un calcul avec les nombres qui le précèdent et que le nombre qui le suit est la réponse au calcul (Flakner, Levi et Carpenter, 1999, p. 233, traduction libre ; Warren et Cooper, 2005). |
Les élèves ayant cette conception diraient que l'équation mathématique 3 + 4 = 6 +1 est fausse parce que 3 + 4 = 7 + 1 = 8 ou 3 + 4 = 7 + 6 = 13 + 1 = 14 (Warren et Cooper, 2005, p. 59, traduction libre). Dans le cadre d'un projet de recherche, des enseignants de 6e année ont demandé à leurs élèves de résoudre le problème 8 + 4 = ___ + 5. Les 145 élèves de 6e année pensaient que la réponse était soit 12 ou 17 (Falkner, Levi, Carpenter, 1999, p. 232, traduction libre). |
Rigidité quant aux problèmes de forme non-conventionnelle |
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« […] perplexité face à un problème de forme non-conventionnelle » (Osana et Adrien, 2012, p. 55 ; Falkner, Levi et Carpenter, 1999, p. 234). À la droite du symbole d'égalité, il y a toujours et seulement un nombre, la réponse (Warren, Mollison et Oestreich, 2009, p. 15, traduction libre). |
« En voyant l'équation 8 + 4 = __ + 5, par exemple, plusieurs élèves dans les classes que nous avons observées ont fait la remarque que l'équation était « à l'envers » ou « mélangée » (Osana et Adrien, 2012, p. 55). Est-ce que les écritures 2 + 3 = 3 + 2 et 2 – 3 = 3 – 2 sont toutes les deux vraies? Seulement 25% des 73 élèves de 3e année ont répondu que la première était adéquate et que la seconde était fausse. (Warren, 2001, dans Warren et Cooper, 2005, p.59 traduction libre). Qu'en est-il de cette phrase mathématique 7 = 3 + 4. Est-ce vrai ou faux ? [beaucoup d'agitations, visages en détresse et murmures dans la classe] Gretchen : oui, 3 + 4 égal 7 |
Suite successive de calculs |
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« Prolonge l'équation » (Osana et Adrien, 2012, p. 55) « Représenter une suite successive de calculs » (MEO, 2008, p. 72) |
Par exemple, pour calculer 8 x 3 + 6 - 3 écrire 8 x 3 = 24 + 6 = 30 - 3 = 27 « Il est tentant d'utiliser des signes = pour représenter une suite de calculs, mais cette écriture présente plusieurs égalités fausses […] » (MEO, 2008, p. 72) |
Prise en compte d'aucune règle |
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« L'élève [utilise] tous les nombres dans un calcul en utilisant une ou plusieurs des opérations présentées dans l'équation » (Osana et Adrien, 2012, p. 55) | Dans le cadre d'un projet de recherche, des enseignants de 6e année ont demandé à leurs élèves de résoudre le problème 8+4=___+5. Les 145 élèves de 6e année pensaient que la réponse était soit 12 ou 17 (Falkner, Levi, Carpenter, 1999, p. 232, traduction libre). |
L'utilisation d'une calculatrice peut aussi renforcer l'idée que le signe « = » veut dire « trouve la réponse », car la calculatrice affiche un résultat quand on appuie sur la touche. Il est essentiel que les élèves donnent au signe « = » le sens d'une relation d'équivalence entre deux quantités. Il est donc important, dans l'enseignement, d'utiliser le signe « = » en misant sur des relations d'égalité et d'équivalence et non sur le calcul à effectuer.
Il faut également utiliser le signe correctement et éviter toutes représentations erronées :
Pour plus de détails, voir le tableau aux pages 72 et 73 du Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, Modélisation et algèbre, publié par le Ministère de l'Éducation de l'Ontario (2008).
Vingt et un enfants de maternel (4 ans) et de jardin (5 ans) ont réalisé deux tâches exigeant qu'ils se prononcent sur l'équivalence de deux collections et qu'ils rétablissent l'égalité [voir la section enseignant-élèves pour une description plus détaillée]. L'une d'entre elle était contextualisé, à partir d'un livre de littérature jeunesse et s'effectuait en équipe, l'autre était décontextualisée et se déroulait individuellement. La quantité d'objets dans chacune des collections à comparer et leur proximité visait à rendre difficile ou inefficace la reconnaissance visuellement. Les contextes de comparaison réfèrent à une situation d'équivalence, car ce ne sont pas les mêmes objets de part et d'autres [voir la section Enseignant-Savoir/Vocabulaire : équivalence et égalité/Interprétations possibles du symbole « = » selon le contexte]
Afin de caractériser les conduites des élèves, nous avons eu recours au modèle de comprehension de Bergeron and Herscovics (1988). Ce modèle général de comprehension a été mis à profit dans plusieurs recherches. Dans le cadre de sa these, Laurent Theis l'a appliqué aux relations d'équivalence et d'égalité (Theis, 2005). Bien qu'en général, la plupart des élèves ont recours à divers niveaux de compréhension, nous avons ciblé certaines conduites plus typiques.
La vidéo réfère à l'explication de la compréhension intuitive, forme première et rudimentaire de la compréhension (Theis, 2003). Généralement associée aux perceptions visuelles et des estimations globales, ce niveau de compréhension n'implique pas encore l'utilisation de procédures mathématique. D'abord, l'enfant s'exprime sur la relation d'égalité à partir de perceptions visuelles sur des objets concrets, « il y en a plus là ». Ensuite, l'enfant recourt à l'ajout d'un certain nombre de cubes à l'ensemble ayant le moins d'objets. Cette stratégie de transformations spontanées, d'ajout en utilisant des cubes qui ne sont pas compris dans les deux collections, est différente de celle consistant à effectuer un échange précis de cubes entre les deux collections. Bien que l'élève effectue un dénombrement, processus que l'on associe au niveau logico-mathématique procédural, ce n'est qu'en réponse à l'insistance des l'intervenante d' « être certain de ce qu'il dit ».